あなたにも分かるかもしれない材料力学補講004

補講003にて，リーマン和についてお話ししましたが，
今回はExcelを使っての簡単な積分の方法についてお話しします．

解析解が簡単な関数で試してみましょうか．

$\Large \frac{d^2y}{dx^2}=x$

$\Large \frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{2}$

$\Large y=\frac{x^3}{6}$

理系の高校三年生なら自然に出てくるはず．

リーマン和は長方形の和だったのですが，今回は誤差を少なくするため台形の和でやってみます．

Excel のA列は $\Large x$ ，B列は $\Large \frac{d^2y}{dx^2}$
D列はxの増分(台形の高さ)，E列は(上底+下底)/2，F列は台形の面積，
G列は台形の面積の累積和．ってやると累積和が積分値に相当します．

で，I列に積分の結果であるところの $\Large \frac{x^2}{2}$ を入れてみると，

あら不思議．G列の面積の和とI列 $\Large \frac{x^2}{2}$ の結果が一致しますね．
いや，不思議でもなんでもないんですけどね．

もう一回積分してみましょうか．やり方は一回目と同じです．

で，M列の面積の累積和と解析解であるO列の $\Large \frac{x^3}{6}$ と比べてみましょうか．
大体あっていますが，微妙に違います．長方形でも台形でも，関数の形によって近似誤差が出るわけです．0.1%以下の誤差なので，簡易的な計算にはまぁ十分といえば十分と言えると思います．

いかんなぁ，最近笑いを取ってないなぁ．